GRAFIK FUNGSI

Fungsi dapat dikatakan sebagai kesimpulan atas relasi kedua himpunan, yaitu relasi dari himpunan satu ke himpunan lainnya, jika setiap anggota himpunan daerah asal berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan lainnya. Fungsi adalah alat untuk menggambarkan dunia nyata dalam istilah matematika. Dari beberapa penjabaran di blog pengantar fungsi, fungsi dapat mewakili persamaan (formula), grafik, tabel numerik, atau deskripsi verbal. 

Pemahaman Fungsi

Konsep tentang fungsi sering dikaitkan dengan konsep penembakan, atau konsep fungsi adalah mesin.

Konsep peluru hampir sama atau dapat dikatakan sama dengan konsep fungsi. Sebuah grafik, pernyataan atau persamaan dapat dikatakan atau disebut fungsi apabila suatu x hanya menghasilkan satu nilai yaitu f(x). Namun f(x) yang sama dapat dihasilkan oleh nilai x yang berbeda.

Pemahaman konsep fungsi juga dapat di imajinasikan sebagai sebuah mesin. suatu bahan atau input hanya akan menghasilkan satu produk atau output. input atau bahan yang berbeda bisa saja menghasilkan produk atau hasil atau output yang sama. Singkatnya sebuah mesin tidak mungkin menghasilkan 2 produk hanya dari 1 bahan pada waktu dan mesin yang sama.

Notasi Fungsi 

Dalam setiap kasus, nilai satu kuantitas variabel, katakanlah y, tergantung pada nilai lainnya yaitu kuantitas variabel dapat disebut x. Kesepakatan dalam matematika mengatakan bahwa "y adalah fungsi dari x" dan menulis secara simbolis sebagai

y = f(x)  ↔  “y sama dengan f(x)”

Dalam notasi ini, simbol mewakili fungsi, huruf x adalah variabel bebas mewakili nilai input f dan  y adalah variabel dependen atau nilai output pada x. Sederhananya "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Fungsi dan Bukan Fungsi

Suatu grafik dapat dikatakan grafik fungsi apabila suatu x tidak memiliki lebih dari satu nilai y

telaah grafik : Jadi grafik yang dapat dinyatakan sebagai grafik fungsi hanyalah grafik pertama

Domain, dan Range

Jika pada relasi terdapat domain, kodomain dan range. Pada fungsi kita lebih terfokus pada domain dan range. Domain atau daerah asal atau dapat disebut juga daerah definisi merupakan input data yang akan di cari untuk menghasilkan posisi titik pada grafik. Sedangkan range merupakan sekumpulan dari semua nilai keluaran (x) karena x bervariasi di sepanjang y, maka dapat juga disebut sebagai rentang fungsi.

x pada fungsi merupakan sembarang nilai yang ingin dicari tahu hasilnya. Jadi x dapat terbatas bahkan tidak terbatas tergantung data yang diminta. Dapat dikatakan juga untuk setiap x pasti mempunyai nilai y pada fungsi normal. Terdapat beberapa fungsi yang tidak memiliki y atau hasil keluaran dari x tidak ada.

misalnya : 

Sama seperti mesin yang beroperasi, mesin harus memiliki aturan atau setting-an untuk menghasilkan sesuatu, begitu pun suatu fungsi. Fungsi memiliki rumus yang menjelaskan cara menghitung nilai keluaran dari variabel masukan. 

Misalnya, persamaan L = π.r.r adalah aturan yang menghitung luas (L)lingkaran dari jari-jarinya r (jadi r, ditafsirkan sebagai panjang, hanya bisa positif dalam aturan rumus). Ketika kita mendefinisikan fungsi y = (x) dengan rumus dan domainnya tidak dinyatakan eksplisit atau dibatasi oleh konteks, domain diasumsikan sebagai himpunan terbesar dari real nilai-x yang rumusnya memberikan nilai-y nyata, yang disebut domain alami. Jika ingin membatasi domain dengan cara tertentu, Dapat mengatakannya dengan , Domain dari y = π. x. x  adalah seluruh himpunan bilangan real atau lainnya. Untuk membatasi domain fungsi menjadi negatif, katakanlah, nilai x harus positif, kita dapat menulis :

 “y = π. x.x , x >  0”

Mengubah domain tempat menerapkan rumus, maka akan mengubah range. Range y = π.x.x adalah [0, ∞). Range y = π. x.x , x > 2, adalah himpunan semua bilangan diperoleh dengan mengkuadratkan bilangan yang lebih besar 2. Dalam notasi himpunan kisarannya adalah {π.x.x | x> 2} atau {y | y > 4} atau [4, ∞).

Jika range suatu fungsi adalah himpunan bilangan real, maka fungsi tersebut dikatakan bernilai real. Domain dan rentang dari sebagian besar fungsi bernilai real dari variabel real yang kita anggap sebagai interval atau kombinasi interval. Interval mungkin terbuka, tertutup, atau setengah terbuka, dan mungkin terbatas atau tak terbatas. Terkadang juga range suatu fungsi tidak mudah ditemukan, sehingga dibuatlah tabel kesepakatan dibawah ini :

Cara membaca domain dan kodomain dalam kurung :

(... , ...) : artinya domain atau kodomain kurang dari ... dan tidak lebih dari ...

[... , ...] : artinya domain atau kodomain kurang dari atau sama dengan ... dan tidak lebih dari atau sama dengan ...

(... , ...] : artinya domain atau kodomain kurang dari atau sama dengan ... dan tidak lebih dari ...

[... , ...) : artinya domain atau kodomain kurang dari  ... dan tidak lebih dari atau sama dengan...

#tabel adalah informasi singkat, lalu bagaimana mencarinya, penggunaan domain?

1. Fungsi polinomial [tanpa akar atau variabel di penyebut]. 

    → Domainnya adalah semua bilangan real. [ ∞ : tak hingga bilangan real positif]

2. Fungsi pecahan [variabel di bagian penyebut]. 

    → semua bilangan real, dengan syarat penyebut ≠ 0 dan sederhanakan dengan mengeluarkan nilai          x saat menyelesaikan persamaan.

3. Fungsi dengan variabel di dalam akar. 

    → variabel di dalam tanda akar > 0 

4. Fungsi yang menggunakan logaritma natural (ln).

    → Buatlah bagian di dalam kurung > 0 dan selesaikan.

Contoh :

setelah mempelajari domain, mungkin akan timbul pertanyaan "kenapa sih harus ada aturan" "emang kenapa kalau akar minus" dan masih banyak lagi. Peraturan atau kesepakatan domain pada fungsi dibuat untuk menghindari bilngan imajiner atau bilangan diluar bilangan real.

Pertanyaan selanjutnya mungkin akan timbul seperti "emang kenapa kalo bukan bilangan real". Sampai saat ini kemampuan manusia hanya bisa menjelaskan menganalogikan suatu keadaan menggunakan bilangan real atau bilangan nyata. Sehingga bila grafik merupakan alat bantu untuk menggambarkan sebuah data, maka kemungkinan besar yang diperlukan data adalah bilangan real [ karena permasalahan yang muncul adalah kejadian nyata].

Selanjutnya akan timbul lagi pertanyaan seperti "ada ga sih grafik yang menggambarkan bilangan yang bukan bilangan real". jawaban dari pertanyaan ini adalah "ada". yaaaa pasti ada suatu keadaan nilai tidak dapat terdeteksi, mulai dari melebihi domain, keluar dari interval, atau bahkan sesuatu yang tidak dapat dijelaskan. Hal-hal atau permasalahan seperti itu akan dibahas pada fungsi lompatan serta limit fungsi (untuk melihat nilai yang mendekati), ada juga dalam turunan dan integral. 

lalu bila begitu, apakah kita bisa mempelajarinya langsung atau lompat kemateri tersebut karena penasaran. Tentu jawabannya boleh saja, tetapi lebih dianjurkan untuk bertahap. Alasan ini karena semua materi dalam matematika akan selalu berhubungan dengan materi sebelumnya. Mungkin saja kamu dapat mengerti materinya, namun kamu akan langsung melupakan dan kebanyakan orang malah mengalami kesulitan atau kerumitan. Sehingga pada akhirnya menyerah untuk memahami matematika. Back to the topic, Fungsi akan dapat dilihat secara jelas jika digambarkan dengan grafik.

Grafik Fungsi

Jika f adalah fungsi dengan domain D, grafiknya terdiri dari titik-titik pada bidang kartesius yang koordinatnya adalah pasangan input-output untuk f. Dalam notasi himpunan, grafiknya adalah

{(x , f(x)) | x ∈ D}

Grafik fungsi f(x) = x + 2 adalah himpunan titik-titik dengan koordinat (x,y) dimana y = x + 2. Grafiknya adalah garis lurus. Grafik fungsi adalah gambaran yang berguna tentang perilaku fungsinya. Jika (x,y) adalah sebuah titik pada grafik, maka y = (x) adalah tinggi grafik di atas (atau di bawah) titik x. tinggi mungkin positif atau negatif, tergantung pada tanda f(x). f (x, y) terletak pada grafik, maka nilai y = (x) adalah tinggi dari grafik di atas titik x (atau di bawah x jika (x) negatif).

Bagaimana Cara membuat grafik??

Langkah-langkah membuat grafik bagi pemula, tanpa bantuan calculator grafik yaitu :

1. Membuat tabel dan masukkan sembarang x yang saling mendekati, kedalam formula fungsi
2. Buat x = 0 dan y = 0
3. Masukkan titik-titik x,y yang telah dihasilkan dari tabel
4. Hubungkan satu titik dengan titik lainnya

Kenapa harus membuat tabel terlebih dahulu?, Pertanyaan yang sering menjadi pertanyaan setiap siswa. Tabel akan membantu kita untuk mengetahui informasi output dan input. Mungkin kita akan dengan mudah melihat interaksi fungsi naik atau turun dari grafik, tetapi untuk mendapatkan pola dari grafik tersebut ada baiknya untuk mengumpulkan informasi dari domain-domain yang saling mendekati. 

Contoh :

Fungsi Mewakili Numerik

Pada halaman sebelumnya kita telah melihat bagaimana suatu fungsi dapat direpresentasikan secara aljabar oleh suatu rumus (luas fungsi) dan barusan kita telah mengetahui bagaimana penyajian fungsi secara visual dengan grafik melalui bantuan tabel yang sederhana. Cara lain untuk merepresentasikan suatu fungsi adalah numerik, melalui tabel nilai. Representasi numerik sering digunakan oleh para insinyur dan ilmuwan eksperimental. Grafik yang hanya terdiri dari titik-titik dalam tabel disebut scatterplot. 

Fungsi mewakili numerik tidak dihasilkan dari formula fungsi, tetapi dihasilkan dari hasil pengamatan para ilmuan yang sedang melakukan penelitian.

Tes Garis Vertikal Dari Fungsi

Tidak setiap kurva pada bidang koordinat dapat menjadi grafik fungsi. Sebuah fungsi bisa

hanya memiliki satu nilai f(x) untuk setiap x dalam domainnya, jadi tidak ada garis vertikal yang dapat memotong grafik fungsi lebih dari satu kali. Jika a berada dalam domain fungsi , maka vertikal

garis x = a akan memotong grafik di satu titik (a, f(a)).

Singkatnya jika kita menemukan sebuah grafik tetapi terlihat seperti bukan fungsi karena saru x menghasilkan 2 nilai y, kita dapat melakukan potongan pada grafik tersebut. Supaya grafik dapat menjadi grafik fungsi kembali. 

Penjelasan gambar : Pada gambar (a) grafik lingkaran tidak dapat dikatakan fungsi, tetapi dengan membagi lingkaran oleh sumbu x, maka dapat menghasilkan sebuah grafik fungsi yang dapat didefinisikan melalui formula fungsi.

Fungsi yang Ditentukan Sepotong

Terkadang suatu fungsi dijelaskan dalam potongan-potongan dengan menggunakan rumus yang berbeda pada bagian yang berbeda dari domainnya. Salah satu contohnya adalah fungsi nilai absolut (mutlak).

Contoh lainnya: 

Sehingga dari dua contoh di atas kita dapat mengetahui bahwa, tidak semua grafik yang disambungkan menjadi garis memiliki formula fungsi yang sama. Dapat juga dikatakan formula fungsi dapat berbeda tergantung interval fungsi tersebut. Mungkin bentuk fungsi sepotong banyak atau lebih sering ditemukan dalam fungsi numerik, di mana titik-titik pada fungsi dihasilkan melalui pengamatan. Sehingga fungsi terkadang tidak selalu memiliki pola atau formula yang sama di berbagai interval.

Meningkatkan dan Menurunkan Fungsi

Kita dapat mengamati grafik suatu fungsi naik atau turun, saat kita mengamati pergerakan dari kiri ke kanan, kita katakan bahwa fungsi naik, apabila pengamatan dari kiri ke kanan cenderung terus meningkat. Jika saat diamati grafik turun ketika bergerak dari kiri ke kanan, fungsi semakin berkurang. Jadi fungsi dapat dikatakan naik atau turun harus mengamati lebih dari satu titik atau dua titik.

Kita telah belajar ada yang dinamakan fungsi sepotong, dimana semua tergantung pada interval atau daerah domain. Begitupun dalam pengamatan fungsi turun atau naik. Sering kali para ahli akan mengatakan fungsi naik atau turun hanya pada interval sekian hingga sekian. lantaran fungsi dalam dunia nyata tidak selalu naik ataupun turun. 

contoh :

fungsi yang digambarkan pada Gambar diatas  menurun pada interval [-∞, 0) dan meningkat pada interval (0, 1] . Fungsi tidak meningkat atau menurun pada interval [1, ∞) 

Terimakasih telah berjuang membaca blog ini. Kamu sudah berusaha, sadarilah bahwa kamu telah mencapai kesuksesan sepersekian perjalanan-mu. Maka untuk menghasilkan kesuksesan penuh, teruslah belajar. 💪

Sampai jumpa dihalaman-halaman berikutnya. 🙋

Don't forget to appreciation your self 😻😻

Link menuju materi selanjutnya :  Macam-macam grafik fungsi 

Link kembali ke blog utama kalkulus : Kalkulus

Terimakasih sudah membaca blog ini,

Kami sangat mengharapkan komentar pembaca untuk kemajuan dan perkemabangan blog.😅